돈의 물리학(2): 브누아 망델브로 [내가 공부한 독서 #2.]

Chapter 3. 해안선에서 목화가격까지 - 브누아 망델브로

브누아 망델브로는 어렸을 적 수학에 관심이 많았었다고 해.
아버지가 전형적인 해석학 전문가였기도 해서 그런지... 참 수학에 관심이 많았었는데....
아쉽게도 그 부분은 해석학이 아니라, 기하학 이었다고 함....


이 전형적인 해석학 전문가 라는 단어에서처럼,
정통 수학에서 조금이라도 엇빗나가는 소리같은걸 하면 걍 꼽을 줬단 얘기인건데


언제 하루는 아버지가 빡이 치셨는지, 이렇게 말씀하시며 이런 행동을 하셨대

 

마!!!!!!!!! 너같이 그런 쓰레기 같은 발상은!!!!!!!!!! (방안에 쓰레기통을 가리키며)

여기에 더 많아!!!!!!!!!!! (하며 논문 하나를 집어 던짐)

꼽을 받은 망델브로는 씩씩 거리며.... 논문을 집어서 나오고
근데, 그 논문은 조지 킹즐리 지프의 '지프의 법칙' 에 관한 내용이었는데....

'엇???????????? 이거 뭥미?!?!?!?!?! 재밌는데!?!??!?!?!?!?!'

암튼 지프의 법칙 같은 이런 류가 망델브로의 개취였던 것이지.....




이런 유년생활을 보내고 망델브로는 계속해서 기하학에 관심을 가졌음
그리고 그는 이상한 호기심을 하나 갖기 시작했는데,

그것은 누구나 들어 봤을법한

영국의 해안선 길이는 얼마나 될까?

라는 호기심을 가지게 됨..... 이건 또 누구나 한 번쯤은 들어봤을 법한 "프랙탈 모형"의 시초가 되기도 하지

이게 뭐냐면, 해안선의 길이를 인공위성 스케일에서 길이를 대~충재면 10000km가 나온다라고 쳐봐

근데 조금만 더 zoom in해서 다시 측정을 하면 20000km가 되고
더 zoom in 해서 들어가면 100000km가 되고
계속계속 엄청나게 zoom in 해서 측정하면 해안선의 길이는 무한대가 된다는.........
(이걸 딱! log scale로 그리면, 일직선이 그려진다는......)

(자기유사성이라는 원리라는게 새워지며 이것은 최초의 프랙탈 모형이 되었다고 함...)

이것은 길고 긴 이야기일테지만,

짧디 짧게 쓴다면, "해안선의 작은 부분 역시 전체와 마찬가지로 만&반도들로 이루어져 있다" 로 요약할 수 있겠구만

그런데 이게 단지 자연과학에만 적용될 원리겠느냐

 

... ⊃ 세계대전 ⊃ 전쟁 ⊃ 크고 작은 전투 ⊃ 더 작은 전투 ⊃ 언쟁 ⊃ ....

억지로 끼워맞추는 감이 없지 않지만, 그래도 완전 틀린말은 아니잖아
사실 이런 원리가 자연에서도 발견된 것이 더 신기할 노릇인거지

 

 

 

랜덤워크: 금융에 적용...

(갑자기?)

이 당시 즈음에서 바슐리에의 연구가 재발견되어 경제학자들은 바슐리에와 오즈번이 주장한 것 처럼 랜덤워크 한다는 사실을 받아들이기 시작했었는데

하지만, 경제 데이터에 곧바로 적용하면 이것은 랜덤워크를 결코 따르지 않았단 말이지....?

이건 새롭게 다시 말할 수 있게되었는데

일명 "술에 취한 총살형 집행대"라고 표현하는데, 뭐 이런거지
술에취한 사람이 흐느적 흐느적 랜덤워크를 하여 계속해서 시행하면, 그 기댓값은 제자리란 말이지?
즉, 큰 수의 법칙이 적용되어 어느 한 수로 수렴하는 값이 있단 말이야


하지만, 이 술에취한 사람이 총을 들고 랜덤하게 쏜다고 생각해보자고,
그냥 그렇게 표현한 거지만, 결코 어느 한 수로 수렴할 수 없다는 것을 표현한 것이고 (like... 해안선의 역설...)
이거를 수학적으로 표현하는 분포는 Cauchy Distribution (fat-tail 존재) 라고 해
그리고 이것은 자기유사성으로 인한 것이라고 한다네?

(내가 아는 코시분포의 전부는... 뭐 우리가 통계시간에 배우는 가우시안분포, 포아송분포, 감마분포, 카이-스퀘어분포,... 등등등 다 기댓값이 존재하잖아?? 코시분포는 그딴거 없음 ㅋㅋㅋㅋㅋ 어느 한 값으로 수렴하지 않음 ㅋㅋㅋㅋㅋㅋ 이런 노답 분포가 있긴 있답니다 ~~ 정도로 흘려듣고 넘어간 적 있음...)

 

망델브로 in IBM

망델브로는 이러쿵 저러쿵 하다가 IBM에 입사하게 되었었어
그가 속한 팀의 목표는 바로 무엇이었냐하면, 컴퓨터 응용할 곳 찾기 였다고 함.
컴퓨터가 생긴지 별로 안된 시점이었으니깐 그럴수도 있었을 커야.


여기서 망델브로는 금융경제데이터를 사용하고자 했었고, 사회 전체의 소득분포를 접했다고 하네
사실 사회 전체의 소득분포! 하면 바로 떠올랐던 것은 당시에 유명했었던...

(그전부터 엄청나게 유명했었던) Pareto Equilibrium(파레토 균형)이었는데

뭐 다들 알겠지만, 사회 어느곳을 쳐다보나 혹은 자연 어느곳을 쳐다보나 무조건 80:20 (like... 해안선의 역설....)


하지만 우연한 발견은 여기에서 이루어지는게 아니야

하버드의 하우카터 랩실에 들렸었다고 해.
거기 랩실에 갔을때, 망델브로는 눈에 익은 어느 분포를 쳐다보게 된거지...
그냥 너무 낯이 익으니깐

 

"오!! 이것은 소득분포로 바라본 파레토 분포 아닌가요?!?!?!"라고 말했다가
이게 웬걸..... 돌아온 대답은

 

"아닌데.... 목화 가격 데이터인데;;;;;;"

 

오늘날의 연구에 따르면, 이는 가우시안분포와 코시분포를 아우르는 레비-안정 분포 라 불리우는 분포로 밝혀짐

 

레비 안정분포에는 α라는 모수가 있는데,

 

α=2: 정규분포
α=1: 코시분포

둘이 이렇게 양 극단을 표현하고
그 중간 어디쯤엔가 목화가격 분포가 있었던거라고 함

하지만

학계를 설득하진 못했었다고 함...

왜냐면

극단적 예외만을 잘 설명할 뿐

정상상황이라고 불리우는 국면에서는

걍 수익률이든 뭐든 가우시안을 따른다고 해도 좋은 proxy가 되기 때문이었다고 하는데.......
(또한 당시에 이 conceopt(가우시안 컨셉)에 학자 인생 올빵 걸었던 사람들도 많았다는 거.....도.... 있고....)

 

뒤의 내용을 조금만 스포일하자면,
금융에 대해서 랜덤워크보다 더 랜덤한 분포를 사용하는 이 컨셉은 확실하게 틀린 컨셉이 아니야,
다만, 블랙스완이라고 불리는 그런 정말 극단적인 상황에서만 잘 들어맞는다는게 문제이지만

 

근데 사실 과학이라는게 한방에 모든것을 아우르는 이론이 나올리가 있겠음?
물리학만 봐도,

정상상황이라고 말할만한(지구 상에서 보편적인 상황) 상황에서는 고전역학적인 개념 F=ma가 좋은 proxy가 되는데
스케일이 커지고 커지고 커지면, 더 이상 F=ma 를 말한다기 보다는 $E=mc^2$ 를 말해야하고
반대로 스케일이 작아지고 작아지면, 슈뢰딩거 방정식을 써야하는 판국이니깐


암튼 금융에서도 랜덤워크를 써서 표현할 수 있는 국면도 중요하긴 하지만,
요즘 같은 시국(코로나19)에 사람들은 비정상적인 상황도 중요하게 여기니까

 

이를 누가 통합하느냐........
그것이 관건이 아니겠는가

 

 

 

 

 

책의 뒷 내용을 찬찬히 계속 따라가보도록 하자.